可哥德尔不完备定理指出:该系统不存在,因为其中一定存在

简介: 可哥德尔不完备定理指出:该系统不存在,因为其中一定存在,我们不能证明也不能证伪的“东西”,也就是数学系统不可能是完备的,至少它的完备性和相容性不能同时得到满足。

数学是严谨的,但并不意味着,数学的所有定理都符合我们常识,我们就来盘点数学中那些违反常识的真理。

一:费马大定理我们知道勾股数有无限个,勾三股四弦五,就是最简单的勾股数。

费马大定理指出:这样的形式,当指数n大于2时,不存在整数解。

事实是这样的,该定理历经358年才被证明。

利用费马大定理,可以得到一些有趣的证明,比如证明3次根号2为无理数:这个证明简直就是大炮打蚊子,但却很美妙。

二:分球定理数学中,有一条极其基本的公理,叫做选择公理,许多数学内容都要基于这条定理才得以成立。

在1924年,数学家斯特·巴拿赫和阿尔弗莱德·塔斯基根据选择公理,得到一个奇怪的推论——分球定理。

该定理指出,一个三维实心球分成有限份,然后可以根据旋转和平移,组成和原来完全相同的两个实心球。

三:无穷大也有等级大小在二十世纪以前,数学家们遇到无穷大都避而让之,认为要么哪里出了问题,要么结果是没有意义的。

这也太违反直觉了,我们从来不把无穷大当作数,但是无穷大在超穷数理论中,却存在不同的等级。

四:“可证”和“真”不是等价的1931年,奥地利数学家哥德尔,提出一条震惊学术界的定理——哥德尔不完备定理。

该定理指出,我们目前的数学系统中,必定存在不能被证明也不能被证伪的定理。

该定理一出,就粉碎了数学家几千年的梦想——即建立完善的数学系统,从一些基本的公理出发,推导出一切数学的定理和公式。

可哥德尔不完备定理指出:该系统不存在,因为其中一定存在,我们不能证明也不能证伪的“东西”,也就是数学系统不可能是完备的,至少它的完备性和相容性不能同时得到满足。

五:一维可以和二维甚至更高维度一一对应按照我们的常识,二维比一维等级高,三维比四维等级高,比如线是一维的,所以线不能一一对应于面积。

但事实并非如此,康托尔证明了一维是可以一一对应高维的,也就是说一条线上的点,可以和一块面积甚至体积的点一一对应,或者说他们包含的点一样多。

六:地图定理该定理是这样的,比如我们在国内,拿着中国地图,那么在该地图上,一定存在一个点,使得图上的点,和该点所在的真实地理位置精确一致,这么一个点我们绝对能找到。

该定理还可以扩展,说地球上一定存在一个对称的点,在任何时刻,它们的温度和气压一定精确相等,注意,这里说的"一定"并不是概率上的"一定",而是定理保证的绝对性。

但利用这个定理,我们知道在一个公园的任意地方,标示一张地图的话,我们一定能在图上找到"当前所在位置"。

七:独立计算圆周率的任何一位我们计算圆周率的公式有很多,很长一段时间里,我们都认为要计算圆周的1000位,必须把前面999位计算出来。

可是在1995年,数学家就发现了一个神奇的公式,该公式可计算圆周率的任何一位数字,而不需要知道前面的数字。

比如计算第10亿位的数字,我们不需要知道10亿位之前的任何一位,该公式可以直接给出第10亿位的数。

数学中,反直觉的定理非常多,到底是我们的数学,本来就是违背真实世界的呢?

不过,我们可以确信的一点是,数学是追求相容的,一套数学系统,只要它在定义范围内相容或者完备,那么这套数学系统,就有它存在的意义,不管是否和我们常识相悖。

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